Анатолий Иванович Грибков родился 23.03.1919 г. в с.Духовое Лискинского района Воронежской области. 
         В 1936 г. окончил семь классов школы крестьянской молодежи в соседнем с Духовым с. Масловка. Учился, а летом, как и все, работал в колхозе. В 1937–1938 гг. учился на механика МТС в Тамбовском техникуме механизации сельского хозяйства. Работал на всех сельскохозяйственных машинах, был трактористом, комбайнером. В августе 1938 г. поступил в Военное бронетанковое училище имени И.В. Сталина в Харькове. В декабре 1939 года был досрочно, как отличник, выпущен из училища лейтенантом и направлен в действующую армию на финский фронт командиром танкового взвода. Там же был принят кандидатом в члены ВКП(б). 
         С первых дней Великой Отечественной войны в боях с гитлеровцами на Западном фронте участвовал в трагическом оборонительном сражении в Белоруссии и в не менее драматическом Смоленском сражении, командовал танковой ротой. В составе 127-й танковой бригады участвовал в боях в Белоруссии и Смоленской области. По личному приказу командующего войсками 16-й армии генерал-майора К.К. Рокоссовского в сентябре 1941 г. направлен на учебу для прохождения ускоренного курса Военной академии имени М.В. Фрунзе, который окончил в мае 1942 г. При этом, во время учебы А.И. Грибкову пришлось принять участие в боях. В октябре 1941 г. при прорыве врагом советского фронта его назначили командиром расчета противотанкового орудия, сформированного из необученных московских ополченцев. Он обучил свой расчет и почти месяц оборонял Москву от вражеских танков.
         По окончании академии в мае 1942 г. назначен в корпус офицеров – представителей Генерального штаба в войсках. Офицеры этого корпуса направлялись в армии, а также в действовавшие на особо важных направлениях корпуса и дивизии, они были независимы от командующих, при которых находились, имели право беспрепятственно пользоваться всеми средствами связи и передвижения и обязаны были докладывать в Генеральный штаб истинную обстановку, положение и состояние войск. А.И. Грибков служил представителем в 1-м танковом корпусе генерала М.Е. Катукова на Брянском фронте. С октября 1942 г. – представитель в 1-м механизированном корпусе генерала М.Д. Соломатина на Калининском фронте. Вместе с корпусом прошел всю кровопролитную операцию «Марс», сначала при прорыве немецкой обороны, затем в многодневных боях в окружении и при обратном прорыве из окружения. Когда план прорыва был подготовлен, А.И. Грибков попросил назначить его командиром танка вместо погибшего офицера и возглавил ночную атаку на прорыв. В бою танк был подбит, но Грибков был лишь контужен. 
         Затем в том же качестве в январе 1943 г. участвовал в Севской операции, в Курской битве, в Донбасской наступательной операции, в битве за Правобережную Украину, в Крымской операции. Отличные качества А.И. Грибкова как штабного работника были замечены Маршалом Советского Союза А.М. Василевским, который включил Грибкова в свою рабочую группу представителя Ставки Верховного Главнокомандования, а в мае 1944 г. перевел в Оперативное управление Генерального штаба на должность офицера-оператора прибалтийского направления.
         Первые годы после Победы служил в Генеральном штабе. В порядке исключения по личному указанию А.М. Василевского направлен на учебу в Академию Генерального штаба СССР имени К.Е. Ворошилова, которую окончил в 1951 г. с золотой медалью. С марта 1952 г. служил начальником отдела оперативной подготовки штаба Ленинградского военного округа, с января 1956 г. – начальник оперативного управления штаба Ленинградского военного округа. Генерал-майор (1958 г.), с декабря 1959 г. – начальник оперативного управления штаба Киевского военного округа. 
         Награжден орденом «За заслуги перед Отечеством» IV степени, тремя орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, двумя орденами Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны I степени, орденом Отечественной войны II степени, тремя орденами Красной Звезды, орденом «За службу Родине в Вооруженных Силах СССР» III степени. Постановлением администрации Воронежской области 6 июня 2005 г. присвоено почетное звание «Почетный гражданин Воронежской области».